Aleksandr Mikhailovich Lyapunov adalah satu nama yang tidak asing dalam dunia teknik pengaturan / teknik kendali, disebabkan teori stabilitasnya yang sangat fundamental, sehingga sampai saat ini pun masih dipakai oleh teoris, akademisi, praktisi, dan para insinyur di bidang ini. Dalam teori stabilitasnya, Lyapunov menyatakan bahwa :
Sistem dengan dinamika
dapat dikatakan stabil secara asimptotik jika terdapat satu fungsi V(x) , yang disebut kandidat fungsi Lyapunov, yang memenuhi sifat-sifat berikut ini.
,
, dan hanya bernilai nol untuk
Catatan 1 : stabil secara asimptotik, dalam pengertian yang mudah adalah pada saat waktu t menjadi tak berhingga (menuju kekekalan), maka semua state pada sistem tersebut sudah menuju ke titik kesetimbangan, dan pada saat itu, gangguan sebesar apapun akan mengakibatkan pergeseran (lokal) yang pada akhirnya dengan berjalannya waktu, semua state pada sistem bergerak kembali menuju kesetimbangan.
Catatan 2: stabil secara asimptotik dapat bersifat lokal ataupun global. Lokal, bila hanya berlaku untuk nilai-nilai state awal (initial state) di sekitar titik kesetimbangan (the neighborhood of the equilibrium point). Global, bila untuk semua nilai-nilai state awal, semua state akan bergerak menuju 1 titik kesetimbangan yang sama.
Satu hal yang menarik di sini adalah penggunaan kata “terdapat” atau dalam bahasa Inggrisnya “there exists”. Artinya, jika kita dapat menemukan satu saja fungsi kandidat V(x) , yang memenuhi syarat-syarat di atas, maka kita dapat memastikan bahwa sistem tersebut stabil secara asimptotik.
Dalam tulisan ini, saya tidak memberikan pembuktian matematis, karena itu pasti akan membingungkan untuk beginner. Pengertiannya akan lebih mudah dicerna bila kita menggunakan contoh, tanpa kehilangan makna ke-umum-annya.
Ambil contoh sebuah sistem linear dengan dinamika sebagai berikut.
Jika kita melihat phase portrait dari sistem ini, sistem ini akan stabil secara asimptotik di (0,0), seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini.
Mari kita coba mensimulasikan 3 buah kandidat fungsi Lyapunov, yaitu :
Untuk fungsi yang pertama, mari kita periksa turunan pertama terhadap waktu dari V(x) :
Untuk fungsi kandidat kedua, kita periksa turunan pertama fungsi Lyapunov sebagai berikut.
Terlihat bahwa turunan pertama fungsi kedua ini fluktuatif, dengan adanya fungsi-fungsi sinus dan cosinus, dan yang terutama, turunan pertama fungsi ini masih dapat bernilai positif, seperti diperlihatkan pada gambar di bawah ini.
Untuk fungsi kandidat ketiga, kita periksa turunan pertama terhadap waktu dari V(x) sebagai berikut.
Turunan pertama dari V(x) ini dipastikan bernilai negatif, berapapun nilai x1 dan x2, dan jika kita melihat gambar di bawah ini, terlihat bahwa fungsi V(x) memiliki satu minimum global di titik (o,o) :
Jika kita analisis, sebuah fungsi dapat salah ditafsirkan sebagai “tidak stabil” atau tidak “stabil secara asimptotik”, jika kesimpulan itu dihasilkan dari fungsi kandidat Lyapunov yang tidak memenuhi syarat, dan terlalu terburu-buru menyimpulkan. Seperti kasus di atas, jika kita tidak memeriksa phase portrait dan langsung mencari fungsi kandidat Lyapunov yang ketika ditemukan bahwa fungsi itu tidak memenuhi syarat, kita menyerah dan mengatakan sistem tidak stabil.
Di sini pengertian itu penting : Lyapunov mensyaratkan minimal satu fungsi. Jika ditemukan satu saja fungsi yang memenuhi kriteria Lyapunov, maka sistem tersebut stabil / stabil secara asimptotik.
Catatan : Namun sayang, belum ada cara standar mencari fungsi kandidat Lyapunov. Semua masih trial and error. Biasanya, fungsi kuadratik lebih “pas” untuk digunakan sebagai fungsi kandidat Lyapunov, tetapi tidak selalu berlaku untuk beberapa dinamika sistem.
Pertanyaan : Sebenarnya kita bisa saja menganalisa kestabilan sistem, cukup dari phase portrait. Kenapa butuh fungsi kandidat Lyapunov ?
Referensi :
H. K. Khalil, “Nonlinear Systems, 3rd ed.,” Prentice Hall, NJ: Upper Saddle River, 2002.
